La proposition : Calcul des propositions ou calcul propositionnel,
Conjonction et disjonction inclusive.
  
Il a pour objet l'étude des relations logiques entre « propositions »et définit les lois formelles selon lesquelles les propositions complexes sont formées en assemblant des propositions simples au moyen des connecteurs logiques et celles-ci sont enchaînées pour produire des raisonnements valides.
Est considéré comme la forme moderne de la logique stoïcienne. W, 		 
- Notion de proposition
- Formalisation et valeurs de vérité,
- Les opérateurs logiques :
   Opérateur unaire de négation,
   Règle de double négation,
   Opérateur binaire de conjonction,
   Opérateur binaire de disjonction inclusive,
       Le Tiers Exclu, la Tautologie,
   La distributivité,
   Le Théorème de De Morgan, 		 

Notion de proposition :

La proposition peut être soit l'énoncé d'un langage naturel ou la signification que possède cet énoncé.

  
en logique la proposition est un énoncé simple susceptible d'être vrai ou faux.
Un énoncé simple est celui qui ne peut pas être décomposé en plusieurs énoncés.
Jacques habite rue de Lille. Cette phrase est un énoncé simple, soit une proposition.
Jacques habite Paris dans le Quartier Latin. Cette phrase peut se décomposer en deux énoncés :
Jacques habite Paris, et Jacques habite le Quartier Latin.soit la combinaison de deux propositions. 		 

Donc nombre d'énoncés seront exclus de la classe des propositions :

- les énoncés agrammaticaux comme : il de boites des pleut conserves.
- les énoncés dépourvus de sens : La grammaire mange l'altitude des rizhomes .
- les énoncés impératifs, exclamatifs et interrogatifs qui ne sont ni vrais ni faux : Levez-vous ! Vive la Révolution ! Quel mois sommes nous ?
- les énoncés auto référentiels, qui parlent d'eux-mêmes, car quand on leurs attribue des valeurs de vérité, ils conduisent à des paradoxes. " Je mens " si c'est vrai, alors l'énoncé est Faux ( je dis bien la vérité); si c'est Faux, "il est faux que je mente", alors l'énoncé est F, puisque je dis la vérité, donc je ne mens pas !
S'il est V que je mente, alors l'énoncé est F, et s'il est F que je mente alors l'énoncé est F. L'énoncé est Faux dans tous les cas ! Je mens est un mensonge !

  

autre formulation :

Le menteur qui dit: "Je suis un menteur" ment.
S'il ment, alors il n'est pas un menteur et, par conséquent, dit la vérité!
Mais, s'il dit la vérité, alors il est un menteur et donc ne dit pas la vérité!

  

Formalisation et valeurs de vérité↑:

Les propositions sont représentées par les lettres p, q, r, s, et éventuellement par des lettres indicées p1, q2, r3,

Une proposition peut êtrer vrai ou fausse, selon les précédentes définitions

si elle est vraie, nous dirons que sa valeur de vérité est vraie et
noterons val(p) = vraie ou val(p ) = V ou p : V.

si elle est fausse, nous dirons que la valeur de vérité est fausse et
noterons val(p) = faux ou val(p) = F ou p : F.

 

Les opérateurs logiques : ↑

L'opérateur unaire de la négation,
soit la proposition p : L'inconscient est le discours de l'Autre ( Lac66a, p549)
soit la proposition ¬ p (lire : non-p) : L'inconscient n'est pas le discours de l'Autre.

La valeur de vérité dépend de p

si p vrai ( val(p) = V ), alors ¬ p a la valeur faux ( val(p) = F )
si p faux ( val(p) = F alors ¬ p a la valeur vrai ( val(p) = V )
ce qui se représente dans un tableau dit Table de vérité !

p
¬ p
V
F
F
V

Règles de la double négation,↑

On peut appliquer l'opérateur de la négation à ¬ p, soit ¬ (¬ p), ou alors ¬ ¬ p.
Quelle est la valeur de ¬ ¬ p ? en fonction de p ?

p
¬ p
¬ ¬ p
V
F
V
F
V
F

d'où que ¬ ¬ p équivaut à p !

L'opérateur binaire de conjonction, ↑

Soit deux propositions :

p : Jacques habite Paris, et
q : Jacques habite le quartier latin

p
q
p ∧ q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F

( il existe aussi une notation équivalente : p . q ; et : p & q )

La conjonction est commutative, puisque p ∧ q ≡ q ∧ p, peu importe l'ordre, du fait qu'il suffise qu'une propostion soit fausse pour que la conjonction soit fausse.
La conjonction ∧, est la combinaison de deux propositions.

Le ET logique diffère de celui du langage, ou le ET conjonction n'est pas toujours commutatif : soit parce qu'il indique un notion de temps, Et puis, Jacques a dit...!; soit parce qu'il indique une cause : Il a chanté et il a gagné l'épreuve, est différent de Il a gagné l'épreuve et il a chanté !

Le principe de contradiction : p ∧ ¬ p toujours faux puisqu'un des termes est faux !

Exercice portant sur 3 propositions p, q, r en utilisant 2 fois la conjonction ∧,
(p∧q) ∧ r et p ∧(q∧r).

p
q
r
p ∧ q
(p ∧ q)∧r
q∧r
p∧(q∧r)
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F

(p ∧ q)∧r ≡  p∧(q∧r) donc on peut écrire p ∧ q ∧ r,
la conjonction est associative.

Notons : si n est le nombre de propostions différentes dans la composition d'un énoncé complexe, le nombre de combinaisons de valeurs de vérité (donc de ligne dans la table de vérité) est égal à 2n.

Il faut distinguer la notion de valeur de vérité ( V ou F) d'une proposition, de la vérité de la propositon !
La valeur de vérité peut être F, mais la proposition V ! Il est V qu'elle soit F !

L'opérateur binaire de disjonction inclusive,↑

soit :

p : Je regarde un film, et
q : Je lis les Ecrits.
Je peux faire l'un ou l'autre, mais aussi les deux en même temps ! Aussi le OU est-il inclusif !
Noté : p ∨ q . (parfois noté aussi p + q )

La table de vérité de la disjonction inclusive :

p
q
p∨q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F

p ∨ q  ≡  q ∨ p, car les tables de vérité sont identiques,
donc la disjonction inclusive est commutative.

     Le Tiers Exclu , la Tautologie : ↑

Quelles valeurs de vérité correspondent à l'énoncé : p ∨ ¬ p ?

D'après la table de vérité de la négation, p et ¬ p, ne peuvent jamais être faux en même temps, si l'un est faux l'autre est nécessairement vrai !
Donc l'énoncé p ∨ ¬ p est toujours vrai !
On dit qu'il s'agit d'une tautologie.
C'est le principe du Tiers Exclu.

Une Tautologie est un énoncé qui possède toujours la valeur de vérité vrai, quelle que soient les valeurs de vérité des propositions qui la composent.

Si trois propositions p, q, r . La question est comme pour la conjonction de savoir quelles seront les valeurs de vérité en fonction de celle de p, q, r, des énoncés :
(p ∨q) ∨ r et p ∨(q∨r), soit la table de vérité suivante :

p
q
r
p ∨ q
(p∨q)∨r
q∨r
p∨(q∨r)
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F

(p ∨q) ∨ r   équivaut à   p ∨(q∨r)
cela peut s'écrire p ∨ q ∨ r
La disjonction inclusive est associative.
(L'un ou l'autre ou les deux !)


La distributivité,↑

Les deux énoncés suivant sont équivalents :

p ∧ (q ∨ r)  et   (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

p
q
r
q ∨r
p ∧ (q ∨ r)
p ∧ q
p ∧ r
(p∧q) ∨ (p∧r)
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F

Si deux énoncés sont équivalents on peut donc dans n'importe quel discours remplacer l'un par l'autre, salva veritate, sans que la vérité ou la fausseté du discours en soit affectée.
Ces deux énoncés équivalents expriment la loi de la distributivité du ∧ (ET ) sur le∨ (OU) ,
il existe symétriquement une loi de la distributivité du ∨ sur le ∧ .

 

  
Théorème de De Morgan, ↑

Soit les énoncés ¬ (p ∧ q) et ¬ p ∨¬ q ;
dans le premier cas c'est l'énoncé complexe formé par la conjonction de p et de q qui est nié;
dans le second cas, chaque proposition est niée avant d'être soumise à la disjonction inclusive.
(fromage ou dessert ou les deux)
La table de vérité est :

p
q
p ∧ q
¬ ( p ∧q )
¬ p
¬ q
¬ p ∨ ¬ q
V
V
V
F
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
V
V
V
V